设$f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$f(x,y)=(x^2,y^2)$.设$x_0$是点$x_0:=(1,2)$.并设$L:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$L(x,y):=(2x,4y)$.我们断言$f$在点$x_0$处可微，具有导数$L$.
证明:
令$x=(x',y')$
\begin{equation}
\lim_{x\to (1,2);x\in
\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2,y'^2)-(1,4)-L((x',y')-(1,2))|}{|(x',y')-(1,2)|}\\=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^{2}\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2-2x'+1,y'^2-4y'+4)|}{|(x'-1,y'-2)|}=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0
\end{equation}
因此，$f$在$x_0$处的导数为$L$.
之所以$$\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0$$
是因为以上问题等价于如下问题:
已知$a,b>0$,则
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a+b}}=0
\end{equation}
(2) 成立当且仅当
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=0
\end{equation}(为什么?)
(3) 化简如下
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to
0}\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}(a+b)-\frac{2ab}{a+b}
\end{equation}
由于
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}a+b=0
\end{equation}
因此我们只用证明
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=0
\end{equation}(为什么?)
而
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}
\end{equation}
由于$1+\frac{b}{a}>1$,因此
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}=0
\end{equation}成立.
