陶哲轩实分析命题10.1.7

设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，设$f:X\to\mathbf{R}$是函数，并设$L$是实数，则下述命题在逻辑上等价：



(a):$f$在$x_0$处在$X$上可微，且导数为$L$.

(b):对于每个$\varepsilon>0$，都存在$\delta>0$,使得只要$x\in X$是$\delta-$接近于$x_0$的，$f(x)$就是$\varepsilon-$接近于$f(x_0)+L(x-x_0)$的.也就是说，只要$x\in X$并且$|x-x_0|\leq\delta$,就有
$$\begin{equation} |f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq \varepsilon|x-x_0| \end{equation}$$

证明:

这个结论，我曾经在陶哲轩实分析引理17.2.1中证过.

陶哲轩实分析例17.2.3

设$f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$f(x,y)=(x^2,y^2)$.设$x_0$是点$x_0:=(1,2)$.并设$L:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$L(x,y):=(2x,4y)$.我们断言$f$在点$x_0$处可微，具有导数$L$.

证明:

令$x=(x',y')$
  $$\begin{equation}     \lim_{x\to (1,2);x\in       \mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2,y'^2)-(1,4)-L((x',y')-(1,2))|}{|(x',y')-(1,2)|}\\=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^{2}\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2-2x'+1,y'^2-4y'+4)|}{|(x'-1,y'-2)|}=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0   \end{equation}$$
因此，$f$在$x_0$处的导数为$L$.




之所以 $$\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0$$
是因为以上问题等价于如下问题:



已知$a,b>0$,则
$$\begin{equation}  \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a+b}}=0 \end{equation}$$
(2) 成立当且仅当
$$\begin{equation}  \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=0 \end{equation}$$ (为什么?)
(3) 化简如下
$$\begin{equation}  \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to    0}\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}(a+b)-\frac{2ab}{a+b} \end{equation}$$
由于
$$\begin{equation}   \lim_{a\to 0;b\to 0}a+b=0 \end{equation}$$
因此我们只用证明
$$\begin{equation}   \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=0 \end{equation}$$ (为什么?)
而
$$\begin{equation}   \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}} \end{equation}$$
由于$1+\frac{b}{a}>1$,因此
$$\begin{equation}   \lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}=0 \end{equation}$$ 成立.

陶哲轩实分析引理17.2.1

陶哲轩实分析习题17.1.4

Analysis Terence Tao Exercise 17.1.4

陶哲轩实分析引理17.1.16

Analysis Terence Tao Lemma 17.1.16

陶哲轩实分析习题17.1.2

陶哲轩实分析习题17.1.2

两个子群的并仍然是子群的充要条件

设$A,B$是$G$的子群.则$A\bigcup B$是$G$的子群的充要条件是$A\subseteq B$或$B\subseteq A$.

证明：$\Leftarrow$:这是显然的.


$\Rightarrow$:假若$\exists b\in B$,使得$b\not\in A$,现在我要证明$A\subseteq B$.否则若存在$a\in A,a\not\in B$.则可得$ab\not\in A\bigcup B$(为什么?提示：根据群给我的直观印象).这与$A\bigcup B$是子群矛盾.