《几何与代数导引》习题1.35.5

求直线
\begin{equation}
l_1:  \begin{cases}
    x+y-z=-1\\
x+y=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
和直线
\begin{equation}
l_2:  \begin{cases}
    x-2y+3z=6\\
2x-y+3z=6\\
  \end{cases}
\end{equation}

的距离.

解：直线$l_1$的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{0}
\end{equation}
直线$l_2$的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}
\end{equation}
可见直线$l_1$和$l_2$的方向向量分别是$(1,-1,0)$和$(-1,1,1)$.设向量$p=(x_0,y_0,z_0)$
和向量$(1,-1,0)$垂直，和向量$(-1,1,1)$也垂直，则向量$p$可以是
$(1,1,0)$.直线$l_1$和直线$l_2$上的两点分别为$m=(0,0,1)$和
$n=(0,0,2)$.则$\vec{mn}=(0,0,1)$.
\begin{equation}
\cos\langle\vec{mn},\vec{p}\rangle=\frac{\vec{mn}\cdot\vec{p}}{|\vec{mn}||\vec{p}|}=0
\end{equation}
因此两直线的距离为0，即两直线相交.

《几何与代数导引》习题1.35.4

求直线之间的距
离$l_1:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+5}{2}$.$l_2:\frac{x}{3}=\frac{y-6}{-9}=\frac{z+5}{-6}$.


解：

点$q=(-1,1,-5)$在直线$l_1$上，点$p=(0,6,-5)$在直线$l_2$上.$\vec{pq}=(-1,-5,0)$.直线$l_1$的方向向量为$(-1,3,2)$,直线$l_2$的方向向量为$(3,-9,-6)$.设向量$(x_0,y_0,z_0)$与$l_1$的方向向量和$l_2$的方向向量都垂直，则$(x_0,y_0,z_0)$可以是$(3,1,0)$.
\begin{equation}
  \cos\langle\vec{pq},(3,1,0)\rangle=\frac{\vec{pq}\cdot(3,1,0)}{|\vec{pq}||(3,1,0)|}=\frac{-4}{\sqrt{65}}
\end{equation}
则两条直线间距离为
\begin{equation}
  \sqrt{1^2+5^2}\frac{4}{\sqrt{65}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}
\end{equation}