《几何与代数导引》例2.9

求以直线$x=y=z$为轴，过直线$2x=3y=-5z$的圆锥面方程.

解：

两条直线显然相交于原点.设圆锥面上的任意一点为$(x,y,z)$.我们知道直线
$2x=3y=-5z$的方向向量为$(15,10,-6)$.则直线$x=y=z$的方向向量为
$(1,1,1)$.我们知道
\begin{equation}
\cos \langle (1,1,1), (15,10,-6)\rangle=\frac{15+10-6}{\sqrt{3}\sqrt{15^2+10^2+6^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}
则
\begin{equation}
  \frac{x+y+z}{\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}
即$xy+yz+zx=0$即为该圆锥面的方程.

《几何与代数导引》例2.7.4

求$yz$面上二次曲线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{y^2}{a^2}=2z\\
x=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.


解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的点
$(x_0,y_0,z_0)$,使得
\begin{equation}
  (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
  x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2
\end{equation}
且
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{y_0^2}{a^2}=2z_{0}\\
x_0=0\\
z_0\geq 0\\
  \end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
x^2+y^2=2za^2
\end{equation}

《几何与代数导引》例2.7.3

求$yz$面上二次曲线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\\
x=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.


解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的点
$(x_0,y_0,z_0)$,使得
\begin{equation}
  (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
  x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2
\end{equation}
且
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{z_0^2}{c^2}-\frac{y_0^2}{a^2}=1\\
x_0=0\\
y_0\geq 0\\
  \end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1
\end{equation}

《几何与代数导引》例2.7.2

求$yz$面上二次曲线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\\
x=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.


解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的点
$(x_0,y_0,z_0)$,使得
\begin{equation}
  (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
  x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2
\end{equation}
且
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{y_0^2}{a^2}-\frac{z_0^2}{c^2}=1\\
x_0=0\\
y_0\geq 0\\
  \end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
\end{equation}

《几何与代数导引》例2.7.1

求$yz$面上二次曲线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\
x=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.


解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的点
$(x_0,y_0,z_0)$,使得
\begin{equation}
  (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
  x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2
\end{equation}
且
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{y_0^2}{a^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1\\
x_0=0\\
y_0\geq 0\\
  \end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
\end{equation}

《几何与代数导引》例2.6

当$b>a>0$时，圆
\begin{equation}
  \begin{cases}
    (y-b)^2+z^2=a^2\\
x=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所成的曲面称为圆环面，试写出圆环面的方程.

解：点$p=(x,y,z)$在圆环面上，当且仅当存在圆环面上的点$(x_0,y_0,z_0)$,
使得
\begin{equation}
  \begin{cases}
    x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2\\
(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
且
\begin{equation}
  \begin{cases}
    (y_0-b)^2+z_0^2=a^2\\
x_0=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
则圆环面的方程是
\begin{equation}
  (\sqrt{x^2+y^2}-b)^2+z^2=a^2
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.38

在一个仿射标架中，设平面$\pi$的方程为$ax+by+cz=d$.对空间的每一点
$p(x,y,z)$,定义$f(p)=ax+by+cz-d$.证明：对于空间中任意两点$p_1,p_2$,它
们位于平面的两侧，当且仅当$f(p_1)f(p_2)<0$.

证明：当$c\neq 0$时，我们定义平面的上方:平面的上方集合$A$,
\begin{equation}
  A=\{(x,y,z)|ax+by+c(z-k)=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
当$c\neq 0$时，我们定义平面的下方：平面上的集合$B$,
\begin{equation}
  B=\{(x,y,z)|ax+by+c(z+k)=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
显然，$c\neq 0$时，$A\bigcap B=\emptyset$.

当$a\neq 0$时，我们定义平面的前方：平面的前方集合$C$,
\begin{equation}
  C=\{(x,y,z)|a(x-k)+by+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
当$a\neq 0$时，我们定义平面的后方：平面的后方是一个集合$D$,
\begin{equation}
  D=\{(x,y,z)|a(x+k)+by+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
显然$C\bigcap D=\emptyset$.

当$b\neq 0$时，我们定义平面的左方是一个集合$E$,
\begin{equation}
  E=\{(x,y,z)|ax+b(y+k)+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
当$b\neq 0$时，我们定义平面的右方是一个集合$F$,
\begin{equation}
  F=\{(x,y,z)|ax+b(y-k)+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}

显然$E\bigcap F=\emptyset$.我们知道，$a,b,c$不可能同时为0，否则平面将
不再是平面了.因此$p_1,p_2$位于平面的两侧，必定有如下三种情形之一：

1.一左一右
2.一上一下
3.一前一后

无论是哪种情形，我们都易得$f(p_1)f(p_2)<0$

《几何与代数导引》习题1.37.3

求直线
  \begin{equation}
    \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}
  \end{equation}
和平面
\begin{equation}
  x-2y+4z=1
\end{equation}
之间的夹角.


解：直线的方向向量为$(2,1,-1)$.平面的某个法向量是$(0,1,-2)$.
\begin{equation}
  \cos\langle (2,1,-1),(0,1,-2)\rangle=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{5}}
\end{equation}
即
\begin{equation}
  \sin\langle(2,1,-1),(0,1,-2)\rangle=\sqrt{\frac{7}{10}}
\end{equation}
因此直线与平面的夹角为$\hbox{arc}\cos \sqrt{\frac{7}{10}}$.

《几何与代数导引》习题1.36.2

在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.
\begin{equation}
\begin{cases}
x+y=1\\
z=0\\
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
  x-z=-1\\
2y+z=2\\
\end{cases}
\end{equation}
直线1的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{0}
\end{equation}
直线2的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{-1}{2}}=\frac{z-1}{1}
\end{equation}
因此直线1的方向向量是$(1,-1,0)$,直线2的方向向量为
$(1,\frac{-1}{2},1)$.设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
\begin{equation}
\begin{cases}
  x_0=y_0\\
x_0-\frac{1}{2}y_0+z_0=0\\
\end{cases}
\end{equation}
所以公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.所以公垂线方程是
\begin{equation}
  \frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1}
\end{equation}

联立方程6和方程1可得交点坐标是$(a+2c,b+2c,0)$.且$a+b+4c=1$.联立方程6和
方程2可得交点坐标为
$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.且
$a-2b-2c=-3$.
且
$$
\begin{align*}
(a+2c,b+2c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})&\\=(\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})
\end{align*}
$$
我们可得
\begin{equation}
\frac{a+2b+6c-1}{3}-\frac{a+2b+6c-1}{6}+\frac{2b-2a-4}{3}=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
  -a+6b+6c-9=0
\end{equation}
于是我们得
\begin{equation}
  \begin{cases}
    a+b+4c=1\\
a-2b-2c=-3\\
-a+6b+6c=9\\
  \end{cases}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
  \begin{cases}
    a=0\\
b=\frac{5}{3}\\
c=\frac{-1}{6}\\
  \end{cases}
\end{equation}
于是公垂线方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{5}{3}}{2}=\frac{z+\frac{1}{6}}{-1}
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.36.1

在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.
\begin{equation}
\label{eq:1}
\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:2}
\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{2}
\end{equation}

解：设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
\begin{equation}
\label{eq:3}
-x_0+y_0=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
\label{eq:4}
2x_0-y_0+2z_0=0
\end{equation}
因此公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.设公垂线的方程为
\begin{equation}
\label{eq:5}
\frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1}
\end{equation}
方程5与方程1联立有解，可得交点为$(a+c,b+c,0)$.其中$a+b+2c=1$.方程5与方
程2联立有解，可得交点为$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.其中$2b+2c-a=3$.
\begin{equation}
\label{eq:6}
(a+c,b+c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})=(\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})
\end{equation}
可知
\begin{equation}
\label{eq:7}
(\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})\cdot (2,-1,2)=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
\label{eq:8}
a-2b-c+3=0
\end{equation}
解方程组
\begin{equation}
\label{eq:9}
\begin{cases}
  a+b+2c=1\\
-a+2b+2c=3\\
a-2b-c=-3\\
\end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
\label{eq:10}
\begin{cases}
  a=\frac{-1}{3}\\
b=\frac{4}{3}\\
c=0
\end{cases}
\end{equation}
因此公垂线方程为
\begin{equation}
\label{eq:11}
x+\frac{1}{3}=y-\frac{4}{3}=-2z
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.35.5

求直线
\begin{equation}
l_1:  \begin{cases}
    x+y-z=-1\\
x+y=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
和直线
\begin{equation}
l_2:  \begin{cases}
    x-2y+3z=6\\
2x-y+3z=6\\
  \end{cases}
\end{equation}

的距离.

解：直线$l_1$的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{0}
\end{equation}
直线$l_2$的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}
\end{equation}
可见直线$l_1$和$l_2$的方向向量分别是$(1,-1,0)$和$(-1,1,1)$.设向量$p=(x_0,y_0,z_0)$
和向量$(1,-1,0)$垂直，和向量$(-1,1,1)$也垂直，则向量$p$可以是
$(1,1,0)$.直线$l_1$和直线$l_2$上的两点分别为$m=(0,0,1)$和
$n=(0,0,2)$.则$\vec{mn}=(0,0,1)$.
\begin{equation}
\cos\langle\vec{mn},\vec{p}\rangle=\frac{\vec{mn}\cdot\vec{p}}{|\vec{mn}||\vec{p}|}=0
\end{equation}
因此两直线的距离为0，即两直线相交.

《几何与代数导引》习题1.35.4

求直线之间的距
离$l_1:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+5}{2}$.$l_2:\frac{x}{3}=\frac{y-6}{-9}=\frac{z+5}{-6}$.


解：

点$q=(-1,1,-5)$在直线$l_1$上，点$p=(0,6,-5)$在直线$l_2$上.$\vec{pq}=(-1,-5,0)$.直线$l_1$的方向向量为$(-1,3,2)$,直线$l_2$的方向向量为$(3,-9,-6)$.设向量$(x_0,y_0,z_0)$与$l_1$的方向向量和$l_2$的方向向量都垂直，则$(x_0,y_0,z_0)$可以是$(3,1,0)$.
\begin{equation}
  \cos\langle\vec{pq},(3,1,0)\rangle=\frac{\vec{pq}\cdot(3,1,0)}{|\vec{pq}||(3,1,0)|}=\frac{-4}{\sqrt{65}}
\end{equation}
则两条直线间距离为
\begin{equation}
  \sqrt{1^2+5^2}\frac{4}{\sqrt{65}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.35.3

求点$(1,1,1)$到平面$x+y+z=1$的距离.


解：

设$(x_0,y_0,z_0)$为平面上的任意一点，则
\begin{equation}
  x_0+y_0+z_0=1
\end{equation}
因此
\begin{equation}
  (x_0-1)+(y_0-1)+(z_0-1)=-2
\end{equation}
点$(1,1,1)$到点$(x_0,y_0,z_0)$的距离为
\begin{equation}
  \sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2}
\end{equation}
根据柯西不等式，
\begin{equation}
(  1\times (x_0-1)+1\times (y_0-1)+1\times (z_0-1))^2\leq 1^2(x_0-1)^2+1^2(y_0-1)^2+1^2(z_0-1)^2
\end{equation}
等号当且仅当$x_0=y_0=z_0$时成立.
因此$(x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2$的最小值为4.因此点$(1,1,1)$到平面的
距离为2.

《几何与代数导引》习题1.35.2

求点$(1,0,2)$到直线
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      2x-y-2z=-1\\
x+y+4z=2\\
    \end{cases}
  \end{equation}
的距离.


解:设$(x_0,y_0,z_0)$为该直线上的任意一点.则
\begin{equation}
  \begin{cases}
    3x_0+2z_0=1\\
5x_0=y_0\\
  \end{cases}
\end{equation}
点$(1,0,2)$到点$(x_0,y_0,z_0)$的距离为
\begin{equation}
  \sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2+(z_0-2)^2}=\sqrt{\frac{115}{4}x_0^2+\frac{5}{2}x_0+\frac{13}{4}}
\end{equation}
因此距离为$\sqrt{\frac{147}{46}}$

《几何与代数导引》习题1.35.1

 在直角坐标系下，求原点到直线$(x,y,z)=(1,2,3)+t(2,3,-1)$的距离.


解：设直线上的任意一点
$(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)+t_0(2,3,-1)=(1+2t_0,2+3t_0,3-t_0)$.它到原点的距
离为
\begin{equation}
\sqrt{(1+2t_0)^2+(2+3t_0)^2+(3-t_0)^2}=\sqrt{14t_0^2+10t_0+14}
\end{equation}
可得当$t_0=\frac{-5}{14}$时，距离最小.原点到直线的距离即为该最小距离，
为$3 \sqrt{\frac{19}{14}}$.

《几何与代数导引》习题1.34.3

在直角坐标系下，求下列直线的方程：

从点$(2,-3,-1)$引向直线$l_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$
的垂线.


解：

设直线$l_1$上的任意一点$(x_0,y_0,z_0)$.显然
\begin{equation}
  \frac{x_0-1}{-2}=\frac{y_0+1}{-1}=\frac{z_0}{1}
\end{equation}
点$(2,-3,-1)$与$(x_0,y_0,z_0)$的距离$d$是
\begin{equation}
  (x_0-2)^2+(y_0+3)^2+(z_0+1)^2
\end{equation}

\begin{equation}
  d=6z_0^2+2z_0+6
\end{equation}
显然$z_0=\frac{-1}{6}$时$d$取得最小值.因此垂点坐标为
$(\frac{4}{3},\frac{-5}{6},\frac{-1}{6})$.因此欲求的直线方程为
\begin{equation}
  \frac{x-2}{4}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z+1}{-5}
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.34.2

已知某直线过点$(4,2,3)$,平行于平面$3x+2y-z=0$,垂直于直线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    x+2y-z=5\\
z=10\\
  \end{cases}
\end{equation}
求该直线方程.

解：直线
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      x+2y-z=5\\
z=10\\
    \end{cases}
  \end{equation}
的标准方程为
\begin{equation}
    \frac{x-7}{-2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-10}{0}
\end{equation}
可见该直线的方向向量为$(-2,1,0)$.设某直线的方向向量为
$(x_0,y_0,z_0)$.则
\begin{equation}
  -2x_0+y_0=0
\end{equation}
平面$3x+2y-z=0$的法向量为$(6,4,-2)$.可见
\begin{equation}
  6x_0+4y_0-2z_0=0
\end{equation}
所以某直线的方向向量可以为$(1,2,7)$.因此该直线方程为
\begin{equation}
  \frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{7}
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.34.1

过点$(2,-1,3)$,与直线$l_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{2}$相交且垂直.求该直线方程.


解：直线$l_1$的方向向量为$(-1,0,2)$.与方向向量垂直的向量设为
$(x_0,y_0,z_0)$.则
\begin{equation}
  -x_0+2z_0=0
\end{equation}
设$l_2$为满足条件的直线.则$l_2$的方程为
\begin{equation}
  \frac{x-2}{x_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0}
\end{equation}
即$l_2$的方程为
\begin{equation}
  \frac{x-2}{2z_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0}
\end{equation}
且两直线相交，则
\begin{equation}
  \begin{cases}
    2z-x=4\\
2x+z=4\\
  \end{cases}
\end{equation}
解得$z=\frac{12}{5}$,$x=\frac{4}{5}$.因此两直线的交点为
$(\frac{4}{5},0,\frac{12}{5})$.易得
\begin{equation}
  \begin{cases}
    3y_0=-5z_0\\
x_0=2z_0\\
  \end{cases}
\end{equation}
因此直线$l_2$的方程为
\begin{equation}
    \frac{x-2}{6}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-3}{3}
\end{equation}

《几何与代数导引》习题1.18——Ceva 定理

设点$q_3,q_1,q_2$依次为三角形$p_1p_2p_3$的三边$p_1p_2$,$p_2p_3$,$p_3p_1$的内点，记$k_1=(p_1,p_2,q_3)$,$k_2=(p_2,p_3,q_1)$,$k_3=(p_3,p_1,q_2)$.证明三条线段$p_1q_1$,$p_2q_2$,$p_3q_3$交于一点，当且仅当$k_1k_2k_3=1$.


证明：$\Rightarrow$:设$p_1q_1,p_2q_2,p_3q_3$交于点$r$.易得
\begin{equation}
\vec{p_1q_1}=\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2}\vec{p_1p_3}
\end{equation}
由于$p_1,r,q_1$三点共线，因此
\begin{equation}
\vec{p_1r}=\alpha\vec{p_1q_1}=\alpha(\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_{2}}{1+k_2}\vec{p_1p_3})
\end{equation}
其中$\alpha\in\bf{R}$.
设$\vec{p_2r}=\beta \vec{p_2q_2}$.则
\begin{equation}
  \vec{p_1r}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\beta\vec{p_1q_2}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\frac{\beta}{1+k_{3}}\vec{p_1p_3}
\end{equation}
设$\vec{p_3r}=\gamma \vec{p_3q_3}$.同理
\begin{equation}
  \vec{p_1r}=(1-\gamma)\vec{p_1p_3}+\frac{\gamma k_1}{1+k_1}\vec{p_1p_2}
\end{equation}
解得
\begin{equation}
  \begin{cases}
   \gamma=\frac{k_3+k_1k_3}{1+k_3+k_1k_3},\\
\beta=\frac{1+k_3}{1+k_3+k_1k_3},\\
\alpha=\frac{k_1k_3+k_1k_2k_3}{1+k_3+k_1k_3},\\
\frac{\alpha k_2}{1+k_2}=1-\gamma

  \end{cases}
\end{equation}
综上解得$k_1k_2k_3=1$.




$\Leftarrow$:证明采用同一法.$p_1q_1$与$p_2q_2$交于$r$.
\begin{equation}
  \vec{p_1q_1}=\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2}\vec{p_1p_3}
\end{equation}
由于$p_1,r,q_1$三点共线.因此
\begin{equation}
  \vec{p_1r}=\alpha
  \vec{p_1q_1}=\alpha(\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2}\vec{p_1p_3})
\end{equation}
其中$\alpha\in\bf{R}$.设$\vec{p_2r}=\beta \vec{p_2q_2}$.于是
\begin{equation}
  \vec{p_1r}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\beta\vec{p_1q_2}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\frac{\beta}{1+k_{3}}\vec{p_1p_3}
\end{equation}

解得
\begin{equation}
  \begin{cases}
   \alpha= \frac{1+k_2}{1+k_2+k_2k_3}\\
\beta=\frac{k_2+k_2k_3}{1+k_2+k_2k_3}\\
  \end{cases}
\end{equation}
下面我们验证$q_3,r,p_3$共线.这是因为
\begin{align*}
  \vec{p_1r}&=\frac{1}{1+k_2+k_2k_3}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2+k_2k_3}\vec{p_1p_3}\\&=\frac{1+k_1}{k_1(1+k_2+k_2k_3)}\vec{p_1q_3}+\frac{k_2}{1+k_2+k_2k_3}\vec{p_1p_3}
\end{align*}
下面我们看
\begin{equation}
\frac{1+k_1}{k_1(1+k_2+k_2k_3)}+\frac{k_{2}}{1+k_2+k_{2}k_3}=\frac{1+k_1+k_1k_2}{k_1(1+k_2+k_2k_3)}=\frac{1+k_1+k_1k_2}{k_1+k_1k_2+1}=1
\end{equation}
因此$q_3,r,p_3$共线.得证.

几何与代数导引_习题1.18_Ceva 定理.tex

《几何与代数导引》习题1.27

用行列式解方程组：
 \begin{align*}
    2x+3y&=1\\
4x+5y&=6
  \end{align*}
解:$$x=\frac{\begin{vmatrix}
    1&3\\
6&5\\
  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
    2&3\\
4&5\\
  \end{vmatrix}}=\frac{13}{2}$$
$$y=\frac{\begin{vmatrix}
    2&1\\
4&6\\
  \end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
    2&3\\
4&5\\
  \end{vmatrix}
  }=-4$$



  \begin{align*}
    x+2y+3z&=4\\
2x+2y+5z&=2\\
3x-5y+6z&=6
  \end{align*}

解:$$x=\frac{\begin{vmatrix}
    4&2&3\\
2&2&5\\
6&-5&6\\
  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
    1&2&3\\
2&2&5\\
3&-5&6
  \end{vmatrix}}=\frac{118}{-5}$$
$$y=
  \frac{\begin{vmatrix}
1&4&3\\
2&2&5\\
3&6&6\\    
    \end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
    1&2&3\\
2&2&5\\
3&-5&6\\
  \end{vmatrix}
}=\frac{-12}{5}
$$

$$z=\frac{\begin{vmatrix}
    1&2&4\\
2&2&2\\
3&-5&6\\
  \end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
    1&2&3\\
2&2&5\\
3&-5&6
  \end{vmatrix}
}=\frac{54}{5}$$