《几何与代数导引》习题1.34.2

已知某直线过点$(4,2,3)$,平行于平面$3x+2y-z=0$,垂直于直线
$$\begin{equation}   \begin{cases}     x+2y-z=5\\ z=10\\   \end{cases} \end{equation}$$
求该直线方程.

解：直线
  $$\begin{equation}     \begin{cases}       x+2y-z=5\\ z=10\\     \end{cases}   \end{equation}$$
的标准方程为
$$\begin{equation}     \frac{x-7}{-2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-10}{0} \end{equation}$$
可见该直线的方向向量为$(-2,1,0)$.设某直线的方向向量为
$(x_0,y_0,z_0)$.则
$$\begin{equation}   -2x_0+y_0=0 \end{equation}$$
平面$3x+2y-z=0$的法向量为$(6,4,-2)$.可见
$$\begin{equation}   6x_0+4y_0-2z_0=0 \end{equation}$$
所以某直线的方向向量可以为$(1,2,7)$.因此该直线方程为
$$\begin{equation}   \frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{7} \end{equation}$$