《几何与代数导引》习题1.28

设$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$,$\vec{x}$为向量.证明


1.$\vec{a}\times\vec{x},\vec{b}\times\vec{x},\vec{c}\times\vec{x}$共面.

证明:从几何意义来看，这是显然的.$\Box$




2.$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面，当且仅当$\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}$共线.

证明:从几何意义来看，这也是显然的.不过我想从代数角度来解决这个问题.
$\Rightarrow$:当$\vec{a},\vec{b}$都不等于$\vec{0}$时，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面，说明$\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$,其中$\alpha,\beta\in\bf{R}$.则
$$\vec{b}\times\vec{c}=\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ b_1&b_2&b_3\\ \alpha a_1+\beta b_1&\alpha a_2+\beta b_2&\alpha a_3+\beta b_3\\ \end{vmatrix}=\alpha\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ b_1&b_2&b_3\\ a_1&a_2&a_3\\ \end{vmatrix}=-\alpha \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\   a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ \end{vmatrix}$$
而
$$\vec{c}\times\vec{a}=\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ c_1&c_2&c_2\\ a_1&a_2&a_3\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \alpha a_1+\beta b_1&\alpha a_2+\beta b_2&\alpha a_3+\beta b_3\\ a_1&a_2&a_3\\ \end{vmatrix}=\beta\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ b_1&b_2&b_3\\ a_1&a_2&a_3\\ \end{vmatrix}=-\beta\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ \end{vmatrix}$$
且
$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}   \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ \end{vmatrix}$$
因此$\vec{a}\times\vec{b}$,$\vec{b}\times\vec{c}$,$\vec{a}\times\vec{c}$这三者两两共线.

当$\vec{a}$和$\vec{b}$两者中有一者为零向量时，命题显然成立.

$\Leftarrow$:这个我还没有找到很好的代数方法，目前只能用几何方法.




3.  设$\vec{a}$和$\vec{b}$不垂直，$\vec{a}\cdot\vec{x}=k$,$\vec{b}\times\vec{x}=\vec{c}$.试用$\vec{a},\vec{b},\vec{c},k$表示$\vec{x}$.

 利用所谓的二重外积公式：
$$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$$
由二重外积公式可得，
$$(\vec{b}\times\vec{x})\times\vec{a}=(\vec{b}\cdot\vec{a})\vec{x}-(\vec{x}\cdot\vec{a})\vec{b}$$
即 $$\vec{c}\times\vec{a}=(\vec{b}\cdot\vec{a})\vec{x}-k\vec{b}$$
解得 $$\vec{x}=\frac{\vec{c}\times\vec{a}+k\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{a}}$$ ($\vec{a}$与$\vec{b}$垂直保证了分母不为零).