《几何与代数导引》习题1.36.2

在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.
$$\begin{equation} \begin{cases} x+y=1\\ z=0\\ \end{cases} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \begin{cases}   x-z=-1\\ 2y+z=2\\ \end{cases} \end{equation}$$
直线1的标准方程为
$$\begin{equation}   \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{0} \end{equation}$$
直线2的标准方程为
$$\begin{equation}   \frac{x}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{-1}{2}}=\frac{z-1}{1} \end{equation}$$
因此直线1的方向向量是$(1,-1,0)$,直线2的方向向量为
$(1,\frac{-1}{2},1)$.设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
$$\begin{equation} \begin{cases}   x_0=y_0\\ x_0-\frac{1}{2}y_0+z_0=0\\ \end{cases} \end{equation}$$
所以公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.所以公垂线方程是
$$\begin{equation}   \frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1} \end{equation}$$

联立方程6和方程1可得交点坐标是$(a+2c,b+2c,0)$.且$a+b+4c=1$.联立方程6和
方程2可得交点坐标为
$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.且
$a-2b-2c=-3$.
且
$$\begin{align*} (a+2c,b+2c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})&\\=(\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3}) \end{align*}$$
我们可得
$$\begin{equation} \frac{a+2b+6c-1}{3}-\frac{a+2b+6c-1}{6}+\frac{2b-2a-4}{3}=0 \end{equation}$$
即
$$\begin{equation}   -a+6b+6c-9=0 \end{equation}$$
于是我们得
$$\begin{equation}   \begin{cases}     a+b+4c=1\\ a-2b-2c=-3\\ -a+6b+6c=9\\   \end{cases} \end{equation}$$
于是
$$\begin{equation}   \begin{cases}     a=0\\ b=\frac{5}{3}\\ c=\frac{-1}{6}\\   \end{cases} \end{equation}$$
于是公垂线方程为
$$\begin{equation}   \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{5}{3}}{2}=\frac{z+\frac{1}{6}}{-1} \end{equation}$$