《几何与代数导引》习题1.35.1

 在直角坐标系下，求原点到直线$(x,y,z)=(1,2,3)+t(2,3,-1)$的距离.


解：设直线上的任意一点
$(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)+t_0(2,3,-1)=(1+2t_0,2+3t_0,3-t_0)$.它到原点的距
离为
$$\begin{equation} \sqrt{(1+2t_0)^2+(2+3t_0)^2+(3-t_0)^2}=\sqrt{14t_0^2+10t_0+14} \end{equation}$$
可得当$t_0=\frac{-5}{14}$时，距离最小.原点到直线的距离即为该最小距离，
为$3 \sqrt{\frac{19}{14}}$.