《几何与代数导引》习题1.35.3

求点$(1,1,1)$到平面$x+y+z=1$的距离.


解：

设$(x_0,y_0,z_0)$为平面上的任意一点，则
$$\begin{equation}   x_0+y_0+z_0=1 \end{equation}$$
因此
$$\begin{equation}   (x_0-1)+(y_0-1)+(z_0-1)=-2 \end{equation}$$
点$(1,1,1)$到点$(x_0,y_0,z_0)$的距离为
$$\begin{equation}   \sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2} \end{equation}$$
根据柯西不等式，
$$\begin{equation} (  1\times (x_0-1)+1\times (y_0-1)+1\times (z_0-1))^2\leq 1^2(x_0-1)^2+1^2(y_0-1)^2+1^2(z_0-1)^2 \end{equation}$$
等号当且仅当$x_0=y_0=z_0$时成立.
因此$(x_0-1)^2+(y_0-1)^2+(z_0-1)^2$的最小值为4.因此点$(1,1,1)$到平面的
距离为2.