《几何与代数导引》例2.8

一条直线$l_1$绕另一条直线$l_2$旋转所得的旋转面的分类讨论：
1.若直线$l_1$与直线$l_2$重合，则旋转面是一条直线$l_1$.
2.若直线$l_1$与直线$l_2$不重合，则$l_1$和$l_2$之间必有公垂线.设$l_1$的
方程为
$$\begin{equation} \label{eq:1} \begin{cases}   x=y=0\\ z\in\bf{R}\\ \end{cases} \end{equation}$$
$l_2$的方程我们再分类讨论如下：

2.1 若$l_2$的方程为
$$\begin{equation} \label{eq:2} \begin{cases}   x=a\\ y=0\\ z\in\bf{R} \end{cases} \end{equation}$$
其中$a\in\bf{R}$.则易得旋转得到圆柱面
$$\begin{equation} \label{eq:3} \begin{cases} x^2+y^2=a^2\\ z\in\bf{R}\\ \end{cases} \end{equation}$$
2.2若$l_2$的方程为
$$\begin{equation} \label{eq:4} \begin{cases}   x=a\\ z=ky\\ \end{cases} \end{equation}$$
其中$k\in\bf{R}$.则对于旋转面上任意一点来说$(x,y,z)$，都存在该旋转面上
的相应的点$(x_0,y_0,z_0)$.使得
$$\begin{equation} \label{eq:5} x_0^2+y_0^2+z_0^2=x^2+y^2+z^2 \end{equation}$$
且
$$\begin{equation} \label{eq:6} z=z_0 \end{equation}$$

且
$$\begin{equation} \label{eq:7} \begin{cases}   x_0=a\\ z_0=ky_0\\ \end{cases} \end{equation}$$
于是我们得
$$\begin{equation} \label{eq:8} a^2+y_0^2=x^2+y^2 \end{equation}$$
2.1.1当$k=0$时，我们可得$y_0$可取任意值，此时旋转面的方程为
$$\begin{equation} \label{eq:9} x^2+y^2\geq a^2 \end{equation}$$
2.1.2当$k\neq 0$时，我们得
旋转面的方程为
$$\begin{equation} \label{eq:10} x^2+y^2=a^2+(\frac{z}{k})^2 \end{equation}$$
2.1.2.1当$a\neq 0$时，即
$$\begin{equation} \label{eq:11} \frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{k^2a^2}=1 \end{equation}$$
可见是旋转单叶双曲面.
2.1.2.2当$a=0$时，
$$\begin{equation} \label{eq:12} x^2+y^2=(\frac{z^2}{k^2}) \end{equation}$$
此时，是圆锥面.