《几何与代数导引》习题1.35.5

求直线
$$\begin{equation} l_1:  \begin{cases}     x+y-z=-1\\ x+y=0\\   \end{cases} \end{equation}$$
和直线
$$\begin{equation} l_2:  \begin{cases}     x-2y+3z=6\\ 2x-y+3z=6\\   \end{cases} \end{equation}$$

的距离.

解：直线$l_1$的标准方程为
$$\begin{equation}   \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{0} \end{equation}$$
直线$l_2$的标准方程为
$$\begin{equation}   \frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1} \end{equation}$$
可见直线$l_1$和$l_2$的方向向量分别是$(1,-1,0)$和$(-1,1,1)$.设向量$p=(x_0,y_0,z_0)$
和向量$(1,-1,0)$垂直，和向量$(-1,1,1)$也垂直，则向量$p$可以是
$(1,1,0)$.直线$l_1$和直线$l_2$上的两点分别为$m=(0,0,1)$和
$n=(0,0,2)$.则$\vec{mn}=(0,0,1)$.
$$\begin{equation} \cos\langle\vec{mn},\vec{p}\rangle=\frac{\vec{mn}\cdot\vec{p}}{|\vec{mn}||\vec{p}|}=0 \end{equation}$$
因此两直线的距离为0，即两直线相交.