《几何与代数导引》习题1.34.1

过点$(2,-1,3)$,与直线$l_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{2}$相交且垂直.求该直线方程.


解：直线$l_1$的方向向量为$(-1,0,2)$.与方向向量垂直的向量设为
$(x_0,y_0,z_0)$.则
$$\begin{equation}   -x_0+2z_0=0 \end{equation}$$
设$l_2$为满足条件的直线.则$l_2$的方程为
$$\begin{equation}   \frac{x-2}{x_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0} \end{equation}$$
即$l_2$的方程为
$$\begin{equation}   \frac{x-2}{2z_0}=\frac{y+1}{y_0}=\frac{z-3}{z_0} \end{equation}$$
且两直线相交，则
$$\begin{equation}   \begin{cases}     2z-x=4\\ 2x+z=4\\   \end{cases} \end{equation}$$
解得$z=\frac{12}{5}$,$x=\frac{4}{5}$.因此两直线的交点为
$(\frac{4}{5},0,\frac{12}{5})$.易得
$$\begin{equation}   \begin{cases}     3y_0=-5z_0\\ x_0=2z_0\\   \end{cases} \end{equation}$$
因此直线$l_2$的方程为
$$\begin{equation}     \frac{x-2}{6}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-3}{3} \end{equation}$$