《几何与代数导引》习题1.36.1

在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.
$$\begin{equation} \label{eq:1} \frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \label{eq:2} \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{2} \end{equation}$$

解：设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
$$\begin{equation} \label{eq:3} -x_0+y_0=0 \end{equation}$$
且
$$\begin{equation} \label{eq:4} 2x_0-y_0+2z_0=0 \end{equation}$$
因此公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.设公垂线的方程为
$$\begin{equation} \label{eq:5} \frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1} \end{equation}$$
方程5与方程1联立有解，可得交点为$(a+c,b+c,0)$.其中$a+b+2c=1$.方程5与方
程2联立有解，可得交点为$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.其中$2b+2c-a=3$.
$$\begin{equation} \label{eq:6} (a+c,b+c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})=(\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3}) \end{equation}$$
可知
$$\begin{equation} \label{eq:7} (\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{a+2b+3c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})\cdot (2,-1,2)=0 \end{equation}$$
即
$$\begin{equation} \label{eq:8} a-2b-c+3=0 \end{equation}$$
解方程组
$$\begin{equation} \label{eq:9} \begin{cases}   a+b+2c=1\\ -a+2b+2c=3\\ a-2b-c=-3\\ \end{cases} \end{equation}$$
可得
$$\begin{equation} \label{eq:10} \begin{cases}   a=\frac{-1}{3}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=0 \end{cases} \end{equation}$$
因此公垂线方程为
$$\begin{equation} \label{eq:11} x+\frac{1}{3}=y-\frac{4}{3}=-2z \end{equation}$$