《几何与代数导引》例2.6

当$b>a>0$时，圆
$$\begin{equation}   \begin{cases}     (y-b)^2+z^2=a^2\\ x=0\\   \end{cases} \end{equation}$$
绕$z$轴旋转所成的曲面称为圆环面，试写出圆环面的方程.

解：点$p=(x,y,z)$在圆环面上，当且仅当存在圆环面上的点$(x_0,y_0,z_0)$,
使得
$$\begin{equation}   \begin{cases}     x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2\\ (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0\\   \end{cases} \end{equation}$$
且
$$\begin{equation}   \begin{cases}     (y_0-b)^2+z_0^2=a^2\\ x_0=0\\   \end{cases} \end{equation}$$
则圆环面的方程是
$$\begin{equation}   (\sqrt{x^2+y^2}-b)^2+z^2=a^2 \end{equation}$$