《几何与代数导引》习题1.34.3

在直角坐标系下，求下列直线的方程：

从点$(2,-3,-1)$引向直线$l_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$
的垂线.


解：

设直线$l_1$上的任意一点$(x_0,y_0,z_0)$.显然
$$\begin{equation}   \frac{x_0-1}{-2}=\frac{y_0+1}{-1}=\frac{z_0}{1} \end{equation}$$
点$(2,-3,-1)$与$(x_0,y_0,z_0)$的距离$d$是
$$\begin{equation}   (x_0-2)^2+(y_0+3)^2+(z_0+1)^2 \end{equation}$$

$$\begin{equation}   d=6z_0^2+2z_0+6 \end{equation}$$
显然$z_0=\frac{-1}{6}$时$d$取得最小值.因此垂点坐标为
$(\frac{4}{3},\frac{-5}{6},\frac{-1}{6})$.因此欲求的直线方程为
$$\begin{equation}   \frac{x-2}{4}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z+1}{-5} \end{equation}$$