《几何与代数导引》习题1.18——Ceva 定理

设点$q_3,q_1,q_2$依次为三角形$p_1p_2p_3$的三边$p_1p_2$,$p_2p_3$,$p_3p_1$的内点，记$k_1=(p_1,p_2,q_3)$,$k_2=(p_2,p_3,q_1)$,$k_3=(p_3,p_1,q_2)$.证明三条线段$p_1q_1$,$p_2q_2$,$p_3q_3$交于一点，当且仅当$k_1k_2k_3=1$.


证明：$\Rightarrow$:设$p_1q_1,p_2q_2,p_3q_3$交于点$r$.易得
$$\begin{equation} \vec{p_1q_1}=\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2}\vec{p_1p_3} \end{equation}$$
由于$p_1,r,q_1$三点共线，因此
$$\begin{equation} \vec{p_1r}=\alpha\vec{p_1q_1}=\alpha(\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_{2}}{1+k_2}\vec{p_1p_3}) \end{equation}$$
其中$\alpha\in\bf{R}$.
设$\vec{p_2r}=\beta \vec{p_2q_2}$.则
$$\begin{equation}   \vec{p_1r}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\beta\vec{p_1q_2}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\frac{\beta}{1+k_{3}}\vec{p_1p_3} \end{equation}$$
设$\vec{p_3r}=\gamma \vec{p_3q_3}$.同理
$$\begin{equation}   \vec{p_1r}=(1-\gamma)\vec{p_1p_3}+\frac{\gamma k_1}{1+k_1}\vec{p_1p_2} \end{equation}$$
解得
$$\begin{equation}   \begin{cases}    \gamma=\frac{k_3+k_1k_3}{1+k_3+k_1k_3},\\ \beta=\frac{1+k_3}{1+k_3+k_1k_3},\\ \alpha=\frac{k_1k_3+k_1k_2k_3}{1+k_3+k_1k_3},\\ \frac{\alpha k_2}{1+k_2}=1-\gamma   \end{cases} \end{equation}$$
综上解得$k_1k_2k_3=1$.




$\Leftarrow$:证明采用同一法.$p_1q_1$与$p_2q_2$交于$r$.
$$\begin{equation}   \vec{p_1q_1}=\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2}\vec{p_1p_3} \end{equation}$$
由于$p_1,r,q_1$三点共线.因此
$$\begin{equation}   \vec{p_1r}=\alpha   \vec{p_1q_1}=\alpha(\frac{1}{1+k_2}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2}\vec{p_1p_3}) \end{equation}$$
其中$\alpha\in\bf{R}$.设$\vec{p_2r}=\beta \vec{p_2q_2}$.于是
$$\begin{equation}   \vec{p_1r}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\beta\vec{p_1q_2}=(1-\beta)\vec{p_1p_2}+\frac{\beta}{1+k_{3}}\vec{p_1p_3} \end{equation}$$

解得
$$\begin{equation}   \begin{cases}    \alpha= \frac{1+k_2}{1+k_2+k_2k_3}\\ \beta=\frac{k_2+k_2k_3}{1+k_2+k_2k_3}\\   \end{cases} \end{equation}$$
下面我们验证$q_3,r,p_3$共线.这是因为
$$\begin{align*}   \vec{p_1r}&=\frac{1}{1+k_2+k_2k_3}\vec{p_1p_2}+\frac{k_2}{1+k_2+k_2k_3}\vec{p_1p_3}\\&=\frac{1+k_1}{k_1(1+k_2+k_2k_3)}\vec{p_1q_3}+\frac{k_2}{1+k_2+k_2k_3}\vec{p_1p_3} \end{align*}$$
下面我们看
$$\begin{equation} \frac{1+k_1}{k_1(1+k_2+k_2k_3)}+\frac{k_{2}}{1+k_2+k_{2}k_3}=\frac{1+k_1+k_1k_2}{k_1(1+k_2+k_2k_3)}=\frac{1+k_1+k_1k_2}{k_1+k_1k_2+1}=1 \end{equation}$$
因此$q_3,r,p_3$共线.得证.

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