陶哲轩实分析命题10.1.7

设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，设$f:X\to\mathbf{R}$是函数，并设$L$是实数，则下述命题在逻辑上等价：



(a):$f$在$x_0$处在$X$上可微，且导数为$L$.

(b):对于每个$\varepsilon>0$，都存在$\delta>0$,使得只要$x\in X$是$\delta-$接近于$x_0$的，$f(x)$就是$\varepsilon-$接近于$f(x_0)+L(x-x_0)$的.也就是说，只要$x\in X$并且$|x-x_0|\leq\delta$,就有
$$\begin{equation} |f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq \varepsilon|x-x_0| \end{equation}$$

证明:

这个结论，我曾经在陶哲轩实分析引理17.2.1中证过.