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设
X是
\mathbf{R}的子集合，
x_0是
X的极限点，设
f:X\to\mathbf{R}是函数，并设
L是实数，则下述命题在逻辑上等价：
(a):
f在
x_0处在
X上可微，且导数为
L.
(b):对于每个
\varepsilon>0，都存在
\delta>0,使得只要
x\in X是
\delta-接近于
x_0的，
f(x)就是
\varepsilon-接近于
f(x_0)+L(x-x_0)的.也就是说，只要
x\in X并且
|x-x_0|\leq\delta,就有
\begin{equation}
|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq \varepsilon|x-x_0|
\end{equation}
证明:
这个结论，我曾经在
陶哲轩实分析引理17.2.1中证过.
设
f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2是映射
f(x,y)=(x^2,y^2).设
x_0是点
x_0:=(1,2).并设
L:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2是映射
L(x,y):=(2x,4y).我们断言
f在点
x_0处可微，具有导数
L.
证明:
令
x=(x',y')
\begin{equation}
\lim_{x\to (1,2);x\in
\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2,y'^2)-(1,4)-L((x',y')-(1,2))|}{|(x',y')-(1,2)|}\\=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^{2}\backslash\{(1,2)\}}\frac{|(x'^2-2x'+1,y'^2-4y'+4)|}{|(x'-1,y'-2)|}=\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0
\end{equation}
因此，
f在
x_0处的导数为
L.
之所以
\lim_{x\to(1,2);x\in\mathbf{R}^2\backslash\{(1,2)\}}\frac{\sqrt{(x'-1)^4+(y'-2)^4}}{\sqrt{(x'-1)^2+(y'-2)^2}}=0
是因为以上问题等价于如下问题:
已知
a,b>0,则
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a+b}}=0
\end{equation}
(2) 成立当且仅当
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=0
\end{equation}
(为什么?)
(3) 化简如下
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{a^2+b^2}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to
0}\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}(a+b)-\frac{2ab}{a+b}
\end{equation}
由于
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}a+b=0
\end{equation}
因此我们只用证明
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=0
\end{equation}
(为什么?)
而
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2ab}{a+b}=\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}
\end{equation}
由于
1+\frac{b}{a}>1,因此
\begin{equation}
\lim_{a\to 0;b\to 0}\frac{2b}{1+\frac{b}{a}}=0
\end{equation}
成立.
